一、知识梳理
1、余角概念:
如果两个角之和是90°，那么这两个角是互补的。
2、余角的概念:
如果两个角之和是180°，那么这两个角是互补的。
3.注意:
补角和余角只是表示两个角之间的数量关系，并不限定角的位置关系。
4、相邻余角概念:
两个角有一条公共边，它们的另一条边是彼此相对的延长线。有这种关系的两个角叫做相邻余角。
5、余角与同角余角的关系:
同角的余角比它的余角大90°。
6、余角的性质:
同角的余角相等，同角的余角相等。
等角的余角相等，等角的余角相等。
7、顶角的概念:
一个角的两条边是另一个角的两条边的相反延长线，并且这两个角有一个公共顶点，那么这两个角就是对跖角(对跖角由两条相交的直线生成)。
8.顶角相等。
9.数字对顶角的对数:
二、典型事例
例1:判断对错:
(1)一个角必须小于它的余角和它的余角。
(2)若两个角互补，则为锐角和钝角。
(3)若三个角之和为180°，则三个角互补。
(4)如果两个角相等，那么它们的余角也相等。
(5)如果∠1 = ∠2，那么∠1和∠2是对跖角。
(6)余角是平角。
(7)两个余角必成锐角。
(8)两个不等角不是对跖角。
分析:
(1)误差，如60°大于其余角30°，100°大于其余角80°。
(2)错，两个角都可以是直角。
(3)误差，互补性是两个角度之间的数量关系。
(4)正确。
(5)错误，如一个角的平分线，把这个角分成两个相等的小角不是对跖角。
(6)错，两个余角的度数之和是一个平角的度数。
(7)正确。
(8)正确。
示例2
分析:
示例3:
一个角的余角比它的余角的一半小20°，这个角的度数是_ _ _ _ _。
分析:
这类题目不难，我们可以直接把这个角的度数解为x，表示这个角的余角和余角，根据题目列出方程。
当然还有另外一种方法，就是设这个角的余角的度数为X，表示这个角的余角，同时利用一个隐含的数量关系，同一个角的余角比它的余角大90°。
回答:
第三，思维提升
1.求补角补角
示例1:
如图，O是直线AB上的一点，∠AOE =∠FOD = 90°，OB平分∠COD。图中与∠DOE的余角有哪些？与∠DOE的余角有哪些？
分析:
求余角，首先要找到直角内光线分成的两个角，也可以形象地称之为“相邻余角”。
其次，找出其他角是否等于相邻余角中的一个，然后它们与另一个是互补的。
求余角，先求是否有相邻余角，再求其他角是否等于相邻余角中的一个。
有两个余角与∠DOE，∠EOF，∠DOB相邻，然后找出是否有角等于这两个角。
∠DOE在图中没有相邻的余角，我们只能找到与它相等的角。不难发现是∠AOF，求∠AOF的邻余角，再求等于∠AOF的邻余角的角。
回答:
∠∠AOE =∠fod = 90 ,∴∠boe=90
∠3+∠4=90 ,∠3+∠2=90 ,
∴∠2=∠4,
∫OB等分∠COD，
∴∠4=∠5,∠2=∠5,
∴∠DOE是∠2，∠4，∠5；
∵∠1+∠2=90 ,∠3+∠2=90 ,
∴∠3=∠1
∵∠1+∠BOF=180，
∠BOF=∠2+∠3+∠4=∠5+∠3+∠4=∠EOC，
∴和∠DOE的余角是∠BOF和∠ EOC。
1.求补角补角
示例2:
如下图所示，AOE是一条直线，光线OB、OC、OD从o点引出，若∠ AOC = ∠ COE = ∠ BOD = 90，图中有几对余角？有多少对互补的角？
分析:
该想法与示例1中的相同。先求相邻的余角，再求是否有其他角等于其中一个角。对于两个直角，别忘了它们是互补的。
回答:
∠∠AOC =∠COE =∠BOD = 90
∴∠1+∠2=90
∠2+∠3=90 ,
∠3+∠4=90 ,
∠1+∠4=90 ,
有四对互补的角，
∠1和∠2∠2和∠3∠3和∠ 4∠1和∠4，
∴∠1=∠3,∠2=∠4
∵∠1+∠DOE=180 ,∴∠3+∠DOE=180，
∠4+∠AOB=180 ,∴∠2+∠AOB=180，
∠AOC+∠COE=180，
∠AOC+∠DOB=180，
∠DOB+∠COE=180，
有7对余角，
∠1和∠DOE，∠3和∠DOE，
∠4和∠AOB，∠2和∠AOB，
∠AOC和∠COE，
∠AOC和∠DOB，
∠DOB和∠COE..
1.求补角补角
示例3:
如图，直线AB和CD相交于O、OF和OD的平分线，分别为∠AOE和∠BOE。
(1)写出∠DOE的余角；
(2)若∠ BOE = 62，求∠AOD和∠EOF的次数；
(3)求∠DOF的度数？
分析:
(1)求∠DOE的余角，可以求它的相邻余角，也可以求等于∠DOE的角，然后求它的余角。
(2)求∠AOD，不一定要用角度和，可以用180减去∠BOD，求∠EOF，可以求∠AOE然后一半。
(3)对于平分线问题，如果找到出现两次的边OE，那么∠DOF就看成∠ Foe+∠ Doe，一半加一半就能找到。
回答:
2、用方程的思想
示例1:
如图所示，直线AB和CD相交于O点，OE平分∠BOD，平分∠ COE。∠ BOF = 30，则∠AOC = _ _ _ _ _ _。
分析:
要求∠AOC其实就是要求∠BOD。求∠ BOD，根据角平分线的条件，可以设∠EOD为x，然后表示∠EOF，再表示∠COE，然后∠ COE+∠ EOD。
回答:
∫OE除以∠BOD，∴ BOD = 2 ∠ BOE，
∠COE，∴∠ COF = ∠ FOE，
∴设∠ BOE = x，那么∠ BOD = 2x，
直线AB和CD相交于o点，
∴∠AOC=∠BOD=2x，∠EOF=∠COF=(x+30)，
那么∠ COF+∠ EOF+∠ DOE = 2 (x+30)+30 = 180，
解:x = 40，
因此∠ AOC = 80。
2、用方程的思想
示例2:
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠ AOD = ∠ BOD，∠DOF与∠BOF的度数之比为3: 1。求∠COE的度数。
分析:
∠COE的要求其实就是找∠ fod。若已知∠DOF和∠BOD的度比，则可设X，两者之差为∠BOD，且∠ AOD = ∠BOD，且为邻余角，则∠。
回答:
求解∠ BOF = x，∠ DOF = 3x。
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=2x
∠∠AOD =∠BOD，∠AOD+∠BOD=180，
∴∠BOD=90，
2x = 90，x = 45
∠自由度=135。
思考问题
